مقدمة في المصفوفات كاملة العناصر pdf، تعرف المصفوفات أنها واحدة من أهم الدروس المتعلقة بالرياضيات، اذ يتعرف الطالب في هذا المقرر على كيفية حل المادلات المصفوفية بالطرق التي يتم تدريبه عليها، بالاضافة الى كيفية تجانس هذه المصفوفات، بناء على الكثير من العوامل التي يتم دراستها ضمن سلسة من القوانين والنظريات، و مقدمة في المصفوفات.
ما هو المقصود بالمصفوفات
يمكن تعريف المصفوفة على أنها ترتيب محدد للأرقام في شكل أعمدة وصفوف وعادة ما تتم كتابة المصفوفة في شكل مربع أو مربع مستطيل.
- تسمى الخطوط العمودية داخل المصفوفة الأعمدة وتسمى الخطوط الأفقية بالصفوف.
- يمكن التعبير عن أبعاد المصفوفة بعدد الصفوف وعدد الأعمدة، وأبعاد المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة، على سبيل المثال، إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة هو 2 وعدد الأعمدة 3، فسيتم التعبير عن أبعادها على النحو التالي: 2 × 3.
- يسمى كل شيء داخل مصفوفة عناصر المصفوفة بغض النظر عما إذا كانت أرقامًا أو رموزًا أو تعبيرات جبرية وإذا كان عدد الصفوف والأعمدة في إحدى المصفوفات يساوي عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة أخرى.
- لذلك، تعتبر هاتان المصفوفتان ذات أبعاد متساوية، ويمكن تسمية المصفوفة بأي حرف عربي، وبالنسبة للغة الإنجليزية يتم تمثيلها بأحد الأحرف الكبيرة.
- بمعنى آخر، يتم تمثيل محتوى المصفوفة بعناصرها من خلال كتابة حرف.
- الذي يمثل اسم المصفوفة ويكتب رقم كل صف وعمود العنصر أسفل الحرف وهذا هو اسم المصفوفة.
التطور التاريخي للمصفوفات
- يمثل الشكل الأول لاستخدام المصفوفات عند حل المعادلات باللغة الصينية ويسمى “الفصول التسعة للفنون الرياضية”.
- كما يتضمن أيضًا مبدأ التعريف الذي يمكن إرجاعه إلى ما بين 300 قبل الميلاد و 200 بعد الميلاد.
- في عام 1683 نشر عالم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو ورقة بحثية عن المصفوفات.
- تبعه العالم الألماني جوتفريد لايبنيز الذي نشر ورقة بحثية عن المصفوفات عام 1693 ونشر غابرييل كرامر لاحقًا قواعده الحسابية في عام 1750.
- ركزت نظرية المصفوفة المبكرة على دور المحدد بدلاً من أن تكون مستقلة عن المصفوفة.
- لم يظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل مع آرثر كايلي ونظرية المصفوفة الخاصة به حتى عام 1858.
- نظرية المصفوفة هي فرع من فروع الرياضيات تركز على دراسة المصفوفات والواقع.
- يعتبر فرعًا من فروع الجبر الخطي، لذا فهو يغطي فعليًا الموضوعات المتعلقة بنظرية الرسم البياني والجبر والتوافقية والإحصاء.
- تمثل المصفوفة مجموعة مستطيلة من الأرقام في عام 1848.
- كما صاغ عالم الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة كاسم لمجموعة من الأرقام المرتبة.
- في عام 1855 اقترح آرثر كايلي مصفوفة لتمثيل العناصر الخطية وتعتبر هذه الفترة بداية لنظرية الجبر الخطي والمصفوفات.
- تعد دراسة الفراغات المتجهة في مجالات محددة فرعًا مفيدًا من الجبر الخطي في نظرية التشفير.
- مما يؤدي بطبيعة الحال إلى البحث عن المصفوفات واستخدامها في مجالات محددة من نظرية التشفير.
- الوحدة عبارة عن تعميم لفضاء المتجه، لذلك يُنظر إليه على أنه مساحة المتجهات على الدائرة.
- أدى هذا إلى البحث في حلقات المصفوفات، ونظرية المصفوفة ليست في هذا المجال فرعًا من فروع الجبر الخطي.
- ما لم تكن الحلقة الموضحة متبادلة.
- النظرية والنتائج في نظرية كيلي هاملتون مقبولة إذا كانت الحلقة المحددة هي حقل مثالي رئيسي.
- نموذج سميث الطبيعي متوافق ولكن الباقي قابل للتطبيق فقط في حالة مصفوفة معقدة أو مصفوفة العدد الحقيقي.
أنواع المصفوفة
توجد عدة أنواع من المصفوفات:
- مصفوفة مربعة: عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة
- صفيف الصف: مصفوفة تحتوي على صف واحد فقط
- مصفوفة العمود: هذه مصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط
- مصفوفة صفرية: هي مصفوفة مكونة من أصفار فقط
- كمصفوفة قطرية: هذه مصفوفة مربعة يتم وضع عناصرها فقط على طول الخط القطري من الطرف الأيمن العلوي إلى الطرف الأيسر السفلي.
- المصفوفة القياسية أيضًا: هي مصفوفة قطرية من عناصر متساوية تقع على القطر من الطرف الأيمن العلوي إلى الطرف الأيسر السفلي
- المصفوفة المثلثية الفائقة: هي مصفوفة مربعة تساوي فيها جميع العناصر الموجودة على القطر وجميع العناصر التي تحتها الصفر.
- المصفوفة المثلثية السفلية: إنها مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الموجودة على القطر مساوية للصفر.
- مصفوفة الوحدة: هي مصفوفة قطرية ومصفوفة مربعة لها نفس عدد الصفوف والأعمدة ويمكن أن تتكون من أي عدد من الصفوف والأعمدة، أي يمكن أن تكون أبعادها 2 × 2، 3 × 3.
أو حتى 100 × 100 والقطر يتكون من رقم واحد فقط وهو حالة خاصة من المصفوفة.
لأن نتيجة ضربها بأي قيمة مصفوفة أخرى تعطي نفس المصفوفة الأخرى.
عمليات الجمع والطرح المصفوفات
عند إضافة أو طرح مصفوفة في حساب المصفوفة، يجب أن يتساوى الجمع والطرح.
- بمعنى آخر، يجب أن يكون عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفتين متساويًا، على سبيل المثال إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة 3 صفوف و 5 أعمدة.
- يمكن إضافته إلى مصفوفة أخرى فقط عندما يكون عدد الصفوف 3 صفوف وعدد الأعمدة 5 أعمدة.
- من ناحية أخرى، لا يمكن إضافته إلى مصفوفة أخرى، على سبيل المثال عدد الصفوف هو 3 وعدد الأعمدة هو 4.
ضرب المصفوفة
هناك نوعان من ضرب المصفوفات:
- الضرب النقطي: اضرب رقمًا في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
- ضرب المصفوفة: هذا هو النوع الثاني حيث يتم ضرب مصفوفتين مع بعضهما البعض ويحدث فقط عندما يساوي عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى عدد الصفوف في المصفوفة الثانية يمكن ضرب المصفوفتين مع بعضهما البعض.
بحيث تكون أبعاد المصفوفة التي تم الحصول عليها هي: عدد صفوف المصفوفة الأولى × عدد أعمدة المصفوفة الثانية، وهناك مجموعة من الخطوات التي يجب اتباعها عند ضرب المصفوفة
تأكد من أن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
يتم ضرب كل عنصر من كل صف من الصف الأول للعنصر المقابل لكل عمود من المصفوفة الثانية على التوالي في المصفوفة الثانية ويتم إضافة النتيجة.
محدد المصفوفة
يتم استخدام محدد المصفوفة في العديد من التطبيقات، على سبيل المثال: حل المعادلات الخطية، وإيجاد معكوس المصفوفة والتطبيقات الأخرى في الرياضيات. يتميز محدد المصفوفة بالعديد من المزايا.
- إنه رقم حقيقي إذا كانت المصفوفة مربعًا ولا يمكن إيجاد معكوس المصفوفة إلا عندما لا تكون الصيغة صفرًا.
- يتم استخدام معكوس المصفوفة لتمثيل محدد المصفوفة بنفس العلامة المستخدمة لتمثيل القيمة المطلقة.
- على سبيل المثال، محدد المصفوفة A هو | A | . وكيفية العثور عليها بأبعادها المختلفة، أي حسب عدد الصفوف والأعمدة، وفيما يلي الشرح:
- إذا كانت أبعاد المصفوفة 2 × 2، أي أنها مقسمة إلى صفين وعمودين، فيمكن العثور عليها من خلال تطبيق القواعد التالية: محدد المصفوفة = (الحد الأقصى على اليمين × الحد الأدنى للقيمة على اليسار) – (الحد الأقصى على اليسار × الحد الأدنى للقيمة على اليمين).
مصفوفة معكوسة
- يمكن تعريف معكوس المصفوفة على أنه مصفوفة وحاصل ضرب المصفوفة الأصلية هو مصفوفة الوحدة، أي مصفوفة من نفس الأقطار.
- العناصر المتبقية تساوي الصفر وتختلف طريقة إيجاد معكوس المصفوفة تبعًا لأبعادها.
وفي النهاية نكون قد عرضنا لكم اهم الانواع المتعلقة بالمصفوفة، وكيفية حساب كل نوع على حدا، ضمن مجموعة من الخطوات التي يتم دراستها في المنهاج.